Teori Aljabar Boolean

ALJABAR BOOLEAN

Postulat sistem aljabar Boolean diperoleh dengan cara membuat asumsi-asumsi dari tabel kebenaran gerbang logika.

6.1. Postulat Aljabar Boolean yang diturunkan dari Gerbang logika

And

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Or

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Not

= 1

= 0

6.2. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan 1  variabel.

Postulat 1 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 1.

Bila X = 0  maka, X . 0 = 0 . 0 = 0

Bila X = 1 maka,  X . 0 = 1 . 0 = 0

Postulat 2 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 2.

Bila X = 0  maka,  X . 1 = 0 . 1 = 0

Bila X = 1  maka,  X . 1 = 1 . 1 = 1

Postulat 3 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 3.

Bila X = 0  maka,  X . X = 0 . 0 = 0

Bila X = 1  maka,  X . X = 1 . 1 = 1

Postulat 4 diturunkan dari gerbang And dan Not

Pembuktian postulat 4.

Bila X = 0  maka,  X .   = 0 . 1 = 0

Bila X = 1  maka,  X .   = 1 . 0 = 0

Postulat 5 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 5.

Bila X = 0  maka,  X + 0 = 0 + 0 = 0

Bila X = 1  maka,  X + 0 = 1 + 0 = 1

Postulat 6 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + 1 = 0 + 1 = 1

Bila X = 1, maka X + 1 = 1 + 1 = 1

Postulat 7 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + X = 0 + 0 = 0

Bila X = 1, maka X + X = 1 + 1 = 1

Postulat 8 diturunkan dari gerbang Or dan Not

Pembuktian postulat 8.

Bila X = 0  maka,  X +   = 0 + 1 = 1

Bila X = 1  maka,  X +   = 1 + 0 = 1

Variabel X pada  postulat 1 sampai 8 dapat dipakai untuk menyatakan suatu exspresi yang mengandung lebih dari satu variabel.

Contoh

A  . B = 0

Penyelesaian

Jika A  dianggap  X  maka, B =  

Pada postulat 4,    X .   = 0 jadi A  . B = 0

Dengan cara yang sama  semua postulat 1 sampai 8 dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu ekspresi yang mengandung lebih dari satu variabel seperti  

6.3. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan Multivariabel.

Postulat 9 diturunkan dari hukum komutatif.

(9)   X + Y  = Y + X

Urutan variabel dalam suatu penjumlahan tidak akan mengubah hasil penjumlahan.

Postulat 10 diturunkan dari hukum komutatif.

(10)   X . Y  = Y . X

Urutan variabel dalam suatu perkalian tidak akan mengubah hasil perkaliannya.

Postulat 11 diturunkan dari hukum asosiaatif.

(11)   X + (Y + Z)= (X  + Y) + Z  = X + Y + Z

Pengelompokan variabel dalam suatu penjumlahan dapat diubah sesuai dengan   yang diinginkan tanpa merubah hasil penjumlahannya.

Postulat 12 diturunkan dari hukum asosiaatif.

 (12)   X (YZ)= (X Y)Z  = XYZ

Pengelompokan  variabel dalam suatu perkalian dapat diubah sesuai dengan   yang diinginkan tanpa merubah hasil perkaliannya.

Postulat 13 diturunkan dari hukum distributif.

(13)   X + (Y + Z)= (X  + Y) + Z  = X + Y + Z

Suatu ekspresi dapat dijabarkan dengan cara mengalikan term demi term atau menguraikan term demi term apabila ada dua atau lebih term yang mengandung suatu variabel yang sama.

Contoh 

A  C +      =  ( A C +    )

A B C + A B D = A B ( C + D )

Contoh soal dan penyelesaian

Sederhanakan persamaan,

1.    Y = A  D + A  

Dengan menggunakan Postulat 13 variabel-variabel  A  dapat dikeluarkan sehingga,

Y = A  (D +  )

Dengan menggunakan Postulat 8 term dalam kurung nilainya = 1 jadi,

Y = A  (D +  ) = A  . 1 =  A

2.    Z = (  + B ) ( A +  )

   =  A +    + B A + B

Dengan menggunakan Postulat 4  term-term  A dan B  nilainya = 0 jadi,

Z = 0 +    + B A + 0

   =    + B A

6.4. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan pembuktian kasus.

Postulat 14 diturunkan dari pembuktian kasus

 (14)   X + (XY)= X

Pembuktian postulat 14.

Bila X = 0, Y = 0 maka,  X +(X Y) = 0 + (0 . 0 ) = 0

Bila X = 0, Y = 1 maka,  X +(X Y) = 0 + (0 . 1 ) = 0

Bila X = 1, Y = 0 maka,  X +(X Y) = 1 + (1 . 0 ) = 1

Bila X = 1, Y = 1 maka,  X +(X Y) = 1 + (1 . 1 ) = 1

Pembuktian postulat 14 dapat  juga dilakukan dengan postulat 6 sebagai berikut,

X +(X Y) = X (1 + Y)

             = X . 1 (disederhanakan dengan postulat 6)

            =  X     (disederhanakan dengan postulat 2)

Postulat 15 (a) dan (b)  diturunkan dari pembuktian kasus

(15 a)  + ( Y)= + Y

Pembuktian postulat 15(b).

Bila X = 0,  maka X +(  Y) = X + Y = 0 + (1. Y ) = Y

Bila X = 1,  maka  X +(  Y) = X + Y = 1 + (0. Y ) = 1

 (15 b)    + (XY)=  + Y

Pembuktian postulat 15(a).

Bila X = 0,  maka    + (XY)=  + Y = 1 + (0 . Y ) = 1 + 0 = 1

Bila X = 1,  maka   + (XY)=  + Y = 0 + (1 . Y ) = 0 + Y = Y

Contoh  Penyederhanaan

 X = A  C  D +    C D

    =  C  D ( A +   B)      Variabel C D dikeluarkan

    =  C  D ( A + B)          dengan postulat 15 a ( A +   B) diganti ( A + B)

    = A C D + B C D

6.5. Postulat Aljabar Boolean dari Teorema DeMorgan.

Postulat 16 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(16) ( X+Y) = X . Y   (perubahan dari NOR ke NAND)

Komplemen dari suatu penjumlahan Or sama dengan perkalian And dari komplemen-komplemennya.

Postulat 17 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(17) ( X.Y) = X + Y

Komplemen dari suatu perkalian And sama dengan penjumlahan Or dari komplemen-komplemennya.

Penyederhanaan Fungsi Boolean Dengan Karnaugh Map

Setelah cukup memahami teorema aljabar Boolean, penyederhanaan fungsi Boolean dengan aljabar, dan model-model Karnaugh Map beserta pemetaannya, kini saatnya mencoba menyelesaikan fungsi logika Boolean dengan Peta Karnaugh (Karnaugh Map/ K-Map). Jika suatu fungsi logika memiliki tiga atau empat variabel, maka penyelesaian dengan K-Map ini akan lebih mudah dibanding dengan penyederhanaan cara Aljabar.

Dari beberapa model K-Map yang telah dibahas sebelumnya, penyederhanaan fungsi logika pada posting ini hanya akan menggunakan model-1 karena metode penyederhanaan dengan model-model K-Map lain pun hasilnya akan tetap sama.

PENYEDERHANAAN DUA VARIABEL
Contoh 1.
F = AB + A'B + AB'

Penyelesaian:

1. Gambarkan K-Map Model-1 untuk dua variabel
2. Ganti kotak-kotak yang sesuai untuk AB, A'B, dan AB, dengan angka satu (1) dan sisanya dengan angka nol (0)
   
3. Gabungkan semua angka satu (1) sesederhana mungkin. Untuk mempermudah dapat menggunakan pemetaan K-Map dua variabel.
   
4. Hasil penyederhanaan dari F = AB + A'B + AB' adalah F = A + B

Perbandingan dengan cara Aljabar:
F = AB + A'B + AB'
   = A (B+B') + A'B
   = A (1) + A'B
   = A + A'B
   = A + B (Teorema T9)

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0

Contoh 2.
F = AB' + A'B'

Penyelesaian:

1. Gambarkan K-Map Model-1 untuk dua variabel
2. Ganti kotak-kotak yang sesuai untuk AB' dan A'B' dengan angka satu (1) dan sisanya dengan angka nol (0)
   
3. Gabungkan semua angka satu (1) sesederhana mungkin. Untuk mempermudah dapat menggunakan pemetaan K-Map dua variabel.
   
4. Hasil penyederhanaan adalah F = B'

Perbandingan dengan cara Aljabar:
F = AB' + A'B'
   = (A+A') B'
   = (1) B'
   = B'

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0

PENYEDERHANAAN TIGA VARIABEL
Contoh 1.
F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC

Penyelesaian:

1. Gambarkan K-Map Model-1 untuk 3 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili ABC', AB'C', AB'C, dan ABC, sisanya diisi dengan angka nol (0).
   
2. Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area A pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.
   
3. Hasil penyederhanaan dari F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC adalah F = A

Perbandingan dengan Aljabar:
F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC
   = AB (C'+C) + AB' (C'+C)
   = AB (1) + AB' (1)
   = AB + AB'
   = A (B+B')
   = A (1)
   = A

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0

Contoh 2.
F = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC + ABC'

Penyelsesaian

1. Gambarkan K-Map Model-1 untuk 3 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili A'B'C, A'BC, AB'C, dan ABC, dan ABC', sisanya diisi dengan angka nol (0).
   
2. Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area AB dan area C pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.
   
   
   
3. Penyederhanaan dari F = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC + ABC' adalah F = AB + C

Perbandingan dengan Aljabar:
F = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC + ABC'
   = (A'+A)B'C + (A'+A)BC + ABC'
   = (1) B'C + (1) BC + ABC'
   = B'C + BC + ABC'
   = (B'+B)C + ABC'
   = (1) C + ABC'
   = C + ABC'
   = C + AB (Teorema T9)
   = AB + C

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0

PENYEDERHANAAN EMPAT VARIABEL
F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD

Penyelsesaian

1. Gambarkan K-Map Model-1 untuk 4 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili A'BC'D, ABC'D, A'BCD, ABCD, sisanya diisi dengan angka nol (0).
   
2. Gambarkan pemetaan K-Map untuk 4 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area B dab D pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.
   
3. Hasil penyederhanaan dari F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD adalah F = BD

Perbandingan dengan Aljabar:
F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD
   = (A'+A) BC'D + (A'+A) BCD
   = (1) BC'D + (1) BCD
   = BC'D + BCD
   = BD (C'+C)
   = BD (1)
   = BD

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0